Question

8．已知A（-2，0）是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与圆F：（x-c）²+y²=9的一个交点，且圆心F是椭圆的一个焦点，
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F的直线交圆与P、Q两点，连AP、AQ分别交椭圆与M、N点，试问直线MN是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-2，0）代入圆F：（x-c）²+y²=9的方程，可得（-2-c）²=9，c＞0，解得c．可得F（1，0），A（-2，0）为椭圆的一个顶点，可得a．即可得出椭圆的标准方程．
（2）由∠PAQ所对的弦是直径PQ．设直线AP的方程为：y=k（x+2），同理可得直线AQ的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+2）．分别与椭圆方程联立可得：x_M，y_M．x_N，y_N．直线MN的方程为：y-y_M=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$（x-x_M），令y=0，则x=$\frac{{y}_{M}{x}_{N}-{y}_{N}{x}_{M}}{{y}_{M}-{y}_{N}}$，即可得出．

解答 解：（1）把A（-2，0）代入圆F：（x-c）²+y²=9的方程，可得（-2-c）²=9，c＞0，解得c=1．
可得F（1，0），
A（-2，0）为椭圆的一个顶点，∴a=2．
∴b²=a²-c²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）∵∠PAQ所对的弦是直径PQ．
设直线AP的方程为：y=k（x+2），
同理可得直线AQ的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x+2）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+2）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
-2+x_M=$\frac{-16{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，解得x_M=$\frac{6-8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_M=k（x_M+2）=$\frac{12k}{3+4{k}^{2}}$．
同理可得：x_N=$\frac{6{k}^{2}-8}{3{k}^{2}+4}$，y_N=$-\frac{1}{k}$（x_N+2）=-$\frac{12k}{3{k}^{2}+4}$．
直线MN的方程为：y-y_M=$\frac{{y}_{M}-{y}_{N}}{{x}_{M}-{x}_{N}}$（x-x_M），
令y=0，则x=$\frac{{y}_{M}{x}_{N}-{y}_{N}{x}_{M}}{{y}_{M}-{y}_{N}}$=$-\frac{2}{7}$．
因此可得：直线MN过定点$（-\frac{2}{7}，0）$．

点评 本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线过定点问题、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．