Question

17．在△ABC中，角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=a²-（b-c）²
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=4$\sqrt{3}$，△ABC的面积为4$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （I）由题意可得2bccosA=a²-b²-c²-2bc，再由余弦定理求出cosA，从而确定A的大小；
（II）利用三角形的面积公式S=$\frac{1}{2}$bcsinA得bc=16；再由余弦定理得b²+c²+bc=48，联立求出b、c．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得2bccosA=a²-b²-c²-2bc，
由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得4bccosA=-2bc，
∴cosA=-$\frac{1}{2}$，∵0＜A＜π，∴A=$\frac{2π}{3}$．
（Ⅱ）∵sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=-$\frac{1}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{3}$，∴bc=16，
a²=b²+c²-2bccosA?b²+c²+bc=48，
∴b=c=4，
故b=4，c=4．

点评 本题考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，结合题设条件，利用余弦定理求出角A的大小是解答本题的关键．