题目内容
【题目】设函数和
都是定义在集合
上的函数,对于任意的
,都有
成立,称函数
与
在
上互为“互换函数”.
(1)函数与
在
上互为“互换函数”,求集合
;
(2)若函数 (
且
)与
在集合
上互为“互换函数”,求证:
;
(3)函数与
在集合
且
上互为“互换函数”,当
时,
,且
在
上是偶函数,求函数
在集合
上的解析式.
【答案】(1)(2)见解析(3)
,
【解析】
(1)利用列方程,并用二倍角公式进行化简,求得
或
,进而求得集合
.
(2)由,得
(
且
),化简后根据
的取值范围,求得
的取值范围.
(3)首先根据为偶函数,求得当
时,
的解析式,从而求得当
时,
的解析式.依题意“当
,
恒成立”,化简得到
,根据函数解析式的求法,求得
时,
以及
,进而求得函数
在集合
上的解析式.
(1)由得
化简得,,所以
或
.
由解得
或
,
,
即或
,
.
又由解得
,
.
所以集合,或
,
即集合.
(2)证明:由,得
(
且
).
变形得 ,所以
.
因为,则
,所以
.
(3)因为函数在
上是偶函数,则
.当
,则
,所以
.所以
,
因此当时,
.
由于与函数
在集合
上“互换函数”,
所以当,
恒成立.
即对于任意的
恒成立.
即.
于是有,
,
.
上述等式相加得 ,即
.
当(
)时,
,
所以 .
而,
,
所以当时,
,
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