题目内容
【题目】某企业在第年年初购买一台价值为
万元的设备
,
的价值在使用过程中逐年减少从第
年到第
年,每年年初
的价值比上年年初减少
万元;从第
年开始,每年年初
的价值为上年年初的
.
(1)求第年年初
的价值
的表达式.
(2)设,若
大于
万,则
继续使用;否则,必须在第
年年初对
更新.
①求;
②证明:必须在第年年初对
更新.(若
是递减数列,
也是递减数列).
【答案】(1);(2)①
,②见解析
【解析】
(1)根据等差数列的通项公式以及等比数列的通项公式,求得的表达式.
(2)①当时,利用等差数列的前
项和公式,求得
,进而求得
;当
时,利用
,求得
.
②根据是递减数列,计算
的值,由此证得必须在第
年年初对
更新.
(1)当时,数列
是首项为
,公差为
的等差数列,
;
当时,数列
是以
为首项,公比为
的等比数列,又
,所以
,
因此,第年年初
的价值
的表达式为
(2) ①设表示数列
的前
项和,由等差及等比数列的求和公式得
当时,
,
;
当时,由于
,故
,
,
②因为是递减数列,所以
也是递减数列.
又,
,
所以必须在第年年初对
进行更新.
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