Question

如图，有一边长为2米的正方形钢板缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线是以直线为对称轴，以线段的中点为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．

（Ⅰ）请建立适当的直角坐标系，求阴影部分的边缘线的方程;
（Ⅱ）如何画出切割路径，使得剩余部分即直角梯形的面积最大？
并求其最大值．

Answer 1

(I) .(Ⅱ)当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.  

解析试题分析：(I)以为原点，直线为轴，建立如图所示的直角坐标系，

依题意
可设抛物线弧的方程为
∵点的坐标为， ∴，
故边缘线的方程为.
(Ⅱ)要使梯形的面积最大，则所在的直线必与抛物线弧相切，设切点坐标为，   ∵，
∴直线的的方程可表示为，即 ， 由此可求得，.
，   ，
设梯形的面积为，则
. ∴当时，
故的最大值为. 此时.
答：当时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为.  
考点：本题主要考查抛物线在实际问题中的应用以及二次函数的图象和性质。
点评：解应用题常用的方法是依据题意建立等量关系，构造数学模型利用函数的性质进行求解，而有些应用题有明显的几何意义，可以考虑利用解析法根据题意建立适当的坐标系，构造曲线方程，利用曲线的性质进行求解．