Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，点为中点，底面为梯形，，，.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取中点, 连接，.利用中位线性质，结合平行线的传递性，可证出ME与CD平行且相等，从而得到四边形是平行四边形，可得CM∥DE，最后根据线面平行的判定定理，证出CM∥平面PAD；

（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量，利用向量夹角公式求得二面角的大小.

（1）如图，取中点，连接，.

∵是中点，

∴，.

又，，

∴，.

∴四边形为平行四边形.

∴.

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取中点，由已知为正方形，又平面，故以为原点，，，为，，轴建立如图所示直角坐标系，

设，则，，，，，

则，，设平面的法向量，则有，，解得.

同理可求得平面的法向量，

∴，即平面与平面所成锐二面角的大小为.