题目内容
【题目】已知椭圆,焦距为2,离心率
为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)过点作圆
的切线,切点分别为
,直线
与
轴交于点
,过点
的直线
交椭圆
于
两点,点
关于
轴的对称点为
,求
的面积的最大值.
【答案】(1) (2)
面积的最大值为3
【解析】试题分析:(Ⅰ)由椭圆的焦点为,离心率
为
,求出
,由此能求出椭圆的标准方程;(Ⅱ)由题意,得
、
、
、
四点共圆,该圆的方程为
,得
的方程为
,直线
的方程为
,设
,则
,从而
最大,
就最大,可设直线
的方程为
,由
,得
,由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式,能求出
的面积的最大值.
试题解析:(Ⅰ)由题意, ,解得
,由
,解得
;
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)由题意,得四点共圆,该圆的方程为
,
又圆的方程为
,故直线
的方程为
,
令,得
,即点
的坐标为
,则点
关于
轴的对称点为
.
设,则
,因此
最大,
就最大,
由题意直线的斜率不为零,可设直线
的方程为
,
由得
,
所以,
又直线与椭圆
交于不同的两点,则
,即
,
,
令,则
,
令,则函数
在
上单调递增,
即当时,
在
上单调递增,因此有
;
所以,当
时取等号.
故面积的最大值为3.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆的方程、韦达定理和三角形面积公式及单调性求最值,属于难题. 解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用函数单调法面积的最大值的.
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