Question

【题目】如图，四棱锥中，底面是边长为2的菱形， ， 为平面外一点，且底面上的射影为四边形的中心， ， 为上一点， ．

（Ⅰ）若为上一点，且，求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）在上取点，可证明四边形为平行四边形，得到，从而根据线面平行的判定定理得到平面；（Ⅱ）连接，因为为菱形，则，且.如图建立空间直角坐标系，利用向量垂直数量积为零，分别列方程组求出平面的法向量与平面的法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得二面角的余弦弦值，进而可得其正弦值.

试题解析：（Ⅰ）在上取点，使得，连接,可证平面平面，从而得到平面

(或在上取点，证明四边形为平行四边形得到，从而得到平面)

（Ⅱ）如图，连接，因为为菱形，则，且.如图建立空间直角坐标系.

因为，故，

所以，

．

由知， ，

从而，

即.

，

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由，得

由，得

故可取

由，得

故可取，

从而法向量的夹角的余弦值为

，

故所求二面角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角以及线面平行的判定定理，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.