题目内容
【题目】在平面直角坐标系上，有一点列P0 ， P1 ， P2 ， P3 ， …，Pn﹣1 ， Pn ， 设点Pk的坐标（xk ， yk）（k∈N，k≤n），其中xk、yk∈Z，记△xk=xk﹣xk﹣1 ， △yk=yk﹣yk﹣1 ， 且满足|△xk||△yk|=2（k∈N* ， k≤n）；
（1）已知点P0（0，1），点P1满足△y1＞△x1＞0，求P1的坐标；
（2）已知点P0（0，1），△xk=1（k∈N* ， k≤n），且{yk}（k∈N，k≤n）是递增数列，点Pn在直线l：y=3x﹣8上，求n；
（3）若点P0的坐标为（0，0），y2016=100，求x0+x1+x2+…+x2016的最大值．
【答案】
（1）解：∵xk∈Z，yk∈Z，∴△xk，△yk∈Z，
又∵|△x1||△y1|=2，0＜△x1＜△y1，
∴ 
，
∴x1=x0+△x1=0+1=1，
y1=y0+△y1=1+2=3，
∴P1的坐标为（1，3）
（2）解：∵ 
，
∴xn=x0+△x1+△x2+…+△xn=n，
又|△xk||△yk|=2，△xk=1，
∴△yk=±2，（k∈N*，k≤n），
∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn，
{yk}（k∈N，k≤n）是增数列，
∴ 
，
∴yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn=1+2n，
∴pn（n，1+2n），
将Pn（n，1+2n）代入y=3x﹣8，得1+2n=3n﹣8，
解得n=9．
（3）解：∵yk=y0+△y1+△y2+△y3+…+△yn，
∴y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，
设Tn=x0+x1+x2+…+xn
=x0+（x0+△x1）+（x0+△x1+△x2）+…+（x0+△x1+△x2+…+△xn）
=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn，
∵n=2016是偶数，n＞100，
Tn=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn≤2[n+（n﹣1）+…+2+1]=n2+n，
当△y1=△y2=△y3=…=△y100=1，
△y101=﹣1，…，△yn﹣1=1，△yn=﹣1，
△x1=△x2=△x3=…=△xn=2时，（取法不唯一）
（Tn）max=n2+n，
∴x0+x1+x2+…+x2016的最大值（T2016）max=20162+2016=4066272
【解析】（1）由已知得|△x1||△y1|=2，0＜△x1＜△y1 ， ，由此能示出P1的坐标．（2）求出pn（n，1+2n），将Pn（n，1+2n）代入y=3x﹣8，能求出n．（3）y2016=△y1+△y2+…+△y2016=100，设Tn=x0+x1+x2+…+xn=n△x1+（n﹣1）△x2+…+2△xn﹣1+△xn ， 由此能求出x0+x1+x2+…+x2016的最大值．
