Question

17．已知函数f（x）=lnx+（x-b）²（b∈R）在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在单调递增区间，则实数b的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，\frac{3}{2}}）$
• B． $（{-∞，\frac{9}{4}}）$
• C． （-∞，3）
• D． $（{-∞，\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围．

解答 解：∵函数f（x）在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间$[{\frac{1}{2}，2}]$上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
$f'（x）=\frac{1}{x}+2（{x-b}）=\frac{{2{x^2}-2bx+1}}{x}$，
设h（x）=2x²-2bx+1，则h（2）＞0或$h（{\frac{1}{2}}）＞0$，
即8-4b+1＞0或$\frac{1}{2}-b+1＞0$，
得$b＜\frac{9}{4}$．
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，不等式的解法，考查计算能力．