Question

2．函数f（x）=x•|x-1|+m
（1）设函数g（x）=（2-m）x+3m，若方程f（x）=g（x）在（0，1]上有且仅有一个实根，求实数m的取值范围；
（2）当m＞1时，求函数y=f（x）在[0，m]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）对二次方程分类讨论：当在（0，1]上有两相等实根，和在（0，1）上有且仅有一个实根和恰有一根为x=1，根据不同情况分别求m的范围．
（2）对x分类，去绝对值，利用二次函数求出区间内的最大值．

解答 解：方程f（x）=g（x）在（0，1]上有且仅有一个实根，
∴方程x²-（m-1）x+2m=0在（0，1]上有且仅有一个实根，
当方程x²-（m-1）x+2m=0在（0，1]上有两相等实根，
∴△=（m-1）²-8m=0，
0＜$\frac{m-1}{2}$≤1，得出m无解；
当方程x²-（m-1）x+2m=0有两相等实根，且在（0，1]上有且仅有一个实根，
当在（0，1）上有且仅有一个实根，
∴f（0）f（1）＜0，
∴2m（m+2）＜0，
∴-2＜m＜0，
当f（1）=0时，m=-2，x²+3x-4=0，
∴x₁=1，x₂=4符合题意，
∴m的取值范围是[-2，0）；
（2）当x∈[0，1]时，f（x）=x（1-x）+m=-（x-$\frac{1}{2}$）²+m+$\frac{1}{4}$
当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）_max=m+$\frac{1}{4}$，
当x∈（1，m]时，f（x）=（x-$\frac{1}{2}$）²+m-$\frac{1}{4}$，
函数在（1，m]时递增，
∴f（x）_max=f（m）=m²，
由m²＞m+$\frac{1}{4}$得m≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$，
当m≥$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$时，f（x）_max=f（m）=m²，
当1＜m＜$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$时，f（x）_max=m+$\frac{1}{4}$．

点评 考查了二次函数区间内根的个数的判定和绝对值的分类讨论问题．难点是对参数的分类方法和二次函数性质的运用．