Question

【题目】已知函数f(x)=ln x+ax2-2x,（a∈R,a≠0）

(1)若函数f(x)的图象在x=1处的切线与x轴平行,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)≤ax在x∈[,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.（2）-4-4ln 2≤a<0.

【解析】

(1) f '(x)=+2ax-2由f '(1)=1+2a-2=0,解得a=,得f '(x)=≥0恒成立，则单调区间可求；(2) f(x)≤ax转化为ln x+ax2-2x-ax≤0,构造函数g(x)=ln x+ax2-2x-ax,x∈[,+∞),求导求其最大值即可求解

(1)函数f(x)=ln x+ax2-2x,定义域为(0,+∞),f '(x)=+2ax-2.

由已知f '(1)=1+2a-2=0,解得a=,

于是f '(x)=≥0恒成立,

从而f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间.

(2) f(x)≤ax转化为ln x+ax2-2x-ax≤0,

设g(x)=ln x+ax2-2x-ax,x∈[,+∞),

则g'(x)=+2ax-2-a=.

①当a<0时,g(x)在[,+∞)上单调递减,

因而g()=ln+a-1-a≤0,故-4-4ln 2≤a<0;

②当0<a<2时,,g(x)在[,]上单调递减,在(,+∞)上单调递增,

因而g(x)∈[g(),+∞),不符合题意;

③当a≥2时,,g(x)在[,+∞)上单调递增,

因而g(x)∈[g(),+∞),不符合题意.

综上,-4-4ln 2≤a<0.