Question

【题目】已知函数f（x）=|ax-2|+lnx（其中a为常数）

（1）若a=0，求函数g（x）=的极值；

（2）求函数f（x）的单调区间；

（3）令F（x）=f（x）-，当a≥2时，判断函数F（x）在（0，1]上零点的个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）极大值为e，无极小值．（2）见解析（3）见解析

【解析】

（1）直接利用导数求函数的极值；（2）对a分a≤0和a＞0两种情况讨论，利用导数求函数的单调区间；（3）由题得|ax-2|=-lnx，先求出函数y=-lnx在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，再对a分类讨论，结合数形结合分析得到函数F（x）在（0，1]上零点的个数.

解：（1）当a=0时，f（x）=2+lnx，

g（x）=，g'（x）=-，由g'（x）=0，得x=，

当0＜x＜时，g′（x）＞0 g（x）单调递增：

当x＞时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，即当x=，时函数g（x）取得极大值，极大值为g（）=e，无极小值．

（2）若a≤0．则f（x）=-ax+2+lnx，f′（x）=-a+＞0，

∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，则f（x）=，

当x≥时，f′（x）=a+＞0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，

当0＜x＜时，f′（x）=-a+，

由f′（x）＞0得0＜x＜，此时函数单调递增，

由f′（x）＜0得＜x＜，此时函数单调递减，

综上当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），

当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，），[，+∞），单调递减区间为（，）．

（3）F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx-，

由F（x）=0得|ax-2|=-lnx，

则k(x)=-lnx，则函数在（0，1]上为减函数，函数的最小值为y=1，

当时，y=|ax-2|的零点为∈（0，1],

当x时，F（x）=f（x）-=|ax-2|+lnx，

由F（x）=0，得，即.

令，，所以在单调递增，，又，所以时，

因为，所以时F（x）无零点.

当x≥时，y=ax-2，设h（x）=ax-2，

当h（1）≥1．即a-2≥1，即a≥3时，两个函数有1个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，

当h（1）＜1．即a-2＜1，即2＜a＜3时，两个函数有0个交点，即函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，

综合得2≤a＜3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为0个，a≥3时，函数F（x）在（0，1]上零点的个数为1个，