Question

【题目】已知是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）求函数在上的值域；

（3）令，求不等式的解集．

Answer 1

【答案】（1）见解析； （2）①当时，值域为； ②当时，值域为；

（3）.

【解析】

（1）由奇函数得，可解出；（2）先换元（），则，，再结合二次函数的图像讨论其值域；（3）先证到也为奇函数，用导数证得 在上单调增，将等价转化为，所以，解出答案即可.

（1）函数的定义域为，因为为奇函数，由可知，，

所以，即；

当时，，此时为奇函数

所以．

（2）令（），所以

所以，对称轴，

①当时，，所求值域为；

②当时，，所求值域为；

（3）因为为奇函数，所以

所以为奇函数，

所以等价于，

又当且仅当时，等号成立，

所以在上单调增，

所以，

即，又，

所以或．所以不等式的解集是．