题目内容
【题目】（本小题满分14分）围建一个面积为
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需维修，可供利用的旧墙足够长），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽
的进出口，如图2所示．已知旧墙的维修费用为
，新墙的造价为
．设利用旧墙的长度为
（单位：
），修建此矩形场地围墙的总费用为
（单位：元）．
（1）将表示为的函数，并写出此函数的定义域；
（2）若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的15%，试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】（1）
；（2） 当
时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【解析】
试题（1）本题考察的是函数的实际应用．设矩形的另一边长为
，则根据围建的矩形场地的面积为
，易求得
，此时再根据旧墙的维修费用为
，新墙的造价为
．即可得到修建围墙的总费用
表示成
的函数解析式．
（2）本题考察的是函数的最值，由（1）所求的函数的解析式，再由基本不等式研究其单调性，即可判断取何值时，函数取得最小值．
试题解析：（1）设矩形场地的宽为，则
∵
∴
∴ 
（2） ∵
∴
当且仅当
，即
时，等号成立．
当时，修建此矩形场地围墙的总费用的15%为：1566元，用于维修旧墙的费用为：1080元．
∵1080<1566
∴当时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．
【题目】有一名高二学生盼望2020年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取：①2020年2月通过考试进入国家数学奥赛集训队（集训队从2019年10月省数学竞赛一等奖中选拔）；②2020年3月自主招生考试通过并且达到2020年6月高考重点分数线，③2020年6月高考达到该校录取分数线（该校录取分数线高于重点线），该学生具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格且估计自己通过各种考试的概率如下表
省数学竞赛一等奖 | 自主招生通过 | 高考达重点线 | 高考达该校分数线 |
0.5 | 0.6 | 0.9 | 0.7 |
若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按②、③顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录取.（注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取）
（1）求该学生参加自主招生考试的概率；
（2）求该学生参加考试的次数
的分布列及数学期望；
