题目内容
已知函数f(x)=
x2-alnx(a∈R).
(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.

(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
(1)a=2,b=-2ln2
(2)(-∞,1]
(2)(-∞,1]
解:(1)因为f′(x)=x-
(x>0),
又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,斜率为1,
所以
解得a=2,b=-2ln2.
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,
则f′(x)=x-
≥0在(1,+∞)上恒成立,
即a≤x2在(1,+∞)上恒成立.
所以a≤1.检验当a=1时满足题意.
故a的取值范围是(-∞,1].

又f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,斜率为1,
所以

解得a=2,b=-2ln2.
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,
则f′(x)=x-

即a≤x2在(1,+∞)上恒成立.
所以a≤1.检验当a=1时满足题意.
故a的取值范围是(-∞,1].

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