题目内容
4.已知定义域为[1,2]的函数f(x)=2+logax(a>0,a≠1)的图象过点(2,3),若g(x)=f(x)+f(x2),则函数g(x)的值域为[4,$\frac{11}{2}$].分析 根据f(x)的图象过点(2,3),代入可得实数a的值,再确定g(x)的定义域,最后根据单调性求函数值域.
解答 解:∵f(x)=2+logax的图象过点(2,3),
∴3=2+loga2,即loga2=1,解得a=2,
又∵g(x)=f(x)+f(x2)=4+3log2x,且f(x)的定义域为[1,2],
∴g(x)的自变量x需满足$\left\{\begin{array}{l}{1≤x≤2}\\{1≤x^2≤2}\end{array}\right.$,解得x∈[1,$\sqrt{2}$],
又g(x)在x∈[1,$\sqrt{2}$]上单调递增,
所以g(x)min=g(1)=4,g(x)max=g($\sqrt{2}$)=$\frac{11}{2}$,
因此,函数g(x)的值域为[4,$\frac{11}{2}$],
故填:[4,$\frac{11}{2}$].
点评 本题主要考查了函数解析式和定义域的求法,以及应用单调性求函数的值域,忽视g(x)的定义域是本题的易错点,属于中档题.
练习册系列答案
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