Question

如图1，在直角梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，AE⊥BD．将△ABD沿对角线BD折起（图2），记折起后点A的位置为P且使平面PBD⊥平面BCD．
（1）求三棱锥P-BCD的体积；
（2）求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意证明PE为三棱锥P-BCD的高，由原图形可得三角形BDC为等腰直角三角形，求出其面积，则三棱锥P-BCD的体积可求；
（2）由（1）的求解过程知道PE⊥BD，DC⊥BD，过E作DC的平行线后以E点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC与平面PCD的法向量，由平面法向量求平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小．
解答：解：（1）∵平面PBD⊥平面BCD，PE⊥BD，PE?平面PBD，平面PBD∩平面BCD=BD，
∴PE⊥平面BCD，
即PE是三棱锥P-BCD的高，
又∵AD∥BC，AD=AB=1，∠BAD=90°，∠BCD=45°，
∴∠ABD=∠CBD=45°，∠BDC=90°，，
∴，，
∴三棱锥P-BCD的体积．
（2）过E作直线EG∥DC，交BC于G，则EG⊥BD，EG⊥PE
如图建立空间直角坐标系，

则，.，．
设平面PBC的法向量为=（x，y，z），
则，即，化简得
令x=1，得z=1，y=1，所以=（1，1，1）是平面PBC的一个法向量．
再设，
则，即，化简得
令x₁=1，得y₁=0，z₁=-1，所以平面PCD的一个法向量为=（1，0，-1）．
设向量和所成角为θ，则．
∴平面PBC与平面PCD所成二面角的平面角的大小为90°．
点评：本题考查了棱锥的体积的求法，考查了二面角的平面角及求法，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，解答此题时一定要注意折叠前后的变量与不变量，此题是中档题．