Question

19．设f（x）=$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，求证：
（1）g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（2）求函数y=[f（x）]²+mg（x）最小值h（m）．

Answer 1

分析 （1）运用指数的运算性质，由两边证，即可得到结论；
（2）求得函数的解析式，令t=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$（t≥1），则y=t²+mt-1，求出对称轴，讨论与区间[1，+∞）的关系，即可求得最小值．

解答 （1）证明：由g（2x）=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$，
[g（x）]²+[f（x）]²=（$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$）²+（$\frac{{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$）²
=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}+2}{4}$+$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}}{2}$，
即有g（2x）=[g（x）]²+[f（x）]²；
（2）解：函数y=[f（x）]²+mg（x）=$\frac{{e}^{2x}+{e}^{-2x}-2}{4}$+m•$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，
可令t=$\frac{{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$（t≥1），则y=t²+mt-1，
对称轴为t=-$\frac{m}{2}$，
当-$\frac{m}{2}$≤1即m≥-2时，函数在[1，+∞）递增，
则最小值为h（m）=m；
当-$\frac{m}{2}$＞1即m＜-2时，函数在（1，-$\frac{m}{2}$）递减，在（-$\frac{m}{2}$，+∞）递增，
即有最小值h（m）=$\frac{-4-{m}^{2}}{4}$．
综上可得h（m）=$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{{m}^{2}}{4}，m＜-2}\\{m，m≥-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．