Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1，设R（x0 ， y0）是椭圆C上的任一点，从原点O向圆R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q．

（1）若直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；
（2）若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1 ， k2 ， 求证：2k1k2+1=0；
（3）试问OP2+OQ2是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由圆R的方程知，圆R的半径的半径 ，

因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，

所以 ，即 ，①

又点R在椭圆C上，所以 ，②

联立①②，解得 …（3分）

所以所求圆R的方程为

（2）解：因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，

所以 ，化简得 =0

同理 ，

所以k1，k2是方程（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+y02﹣8=0的两个不相等的实数根，

因为点R（x0，y0）在椭圆C上，所以 ，即 ，

所以 ，即2k1k2+1=0

（3）解：OP2+OQ2是定值，定值为36，

理由如下：

法一：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立 解得

所以 ，同理，得 ，

由 ，

所以 = = = =36

（ii）当直线ξ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，

综上：OP2+OQ2=36． …（16分）

法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

因为2k1k2+1=0，所以 ，即 ，

因为P（x1，y1），Q（x2，y2），在椭圆C上，所以 ，

即 ，

所以 ，整理得 ，

所以 ，

所以OP2+OQ2=36．

（ii）当直线OP，OQ落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36，

综上：OP2+OQ2=36

【解析】（1）通过直线OP，OQ互相垂直，以及点的坐标适合椭圆方程，求出圆的圆心，然后求圆R的方程；（2）因为直线OP：y=k1x，OQ：y=k2x，与圆R相切，推出k1 ， k2是方程 =的两个不相等的实数根，利用韦达定理推出k1k2 ． 结合点R（x0 ， y0）在椭圆C上，证明2k1k2+1=0．（3）OP2+OQ2是定值，定值为36，理由如下：
法一：（i）当直线ξ不落在坐标轴上时，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），
联立 ，推出 ， ，由 ，求出OP2+OQ2是定值．
（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有OP2+OQ2=36．
法二：（i）当直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），通过2k1k2+1=0，推出 ，利用P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），在椭圆C上，联立 ，推出OP2+OQ2=36．即可．