Question

【题目】已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，直线l：mx﹣y+1﹣m=0．
（1）求证：对m∈R，直线l与圆C总有有两个不同的交点A、B；
（2）求弦AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，

∴直线l与圆C总有两个不同交点

（2）解：当M与P不重合时，连结CM、CP，则CM⊥MP，

又因为|CM|2+|MP|2=|CP|2，

设M（x，y）（x≠1），则x2+（y﹣1）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，

化简得：x2+y2﹣x﹣2y+1=0（x≠1）

当M与P重合时，x=1，y=1也满足上式．

故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2﹣x﹣2y+1=0．

【解析】（1）利用直线l：mx﹣y+1﹣m=0过定点P（1，1），而点P（1，1）在圆内，判定直线l与圆C总有两个不同交点A、B；（2）设出弦AB中点M，用弦的中点与圆心连线与割线垂直，求出轨迹方程．