杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家.数学教育家.杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果.它的许多性质与组合数的性质有关.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角:(1)求第20行中从左到右的第19个数,(2)设第n行中所有数和为A.n阶杨辉三角中的所有数的和为B.且A+B=95.求n的值,(3)在第3斜列中.前5个数依次为1.3.6.10.15,� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：

（1）求第20行中从左到右的第19个数；
（2）设第n行中所有数和为A，n阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和为B，且A+B=95，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现1+3+6+10+15=35：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m+1斜列中第k个数．试用含有m，k（m，k∈N^*）子表示上述结论，并证明之．

分析（1）根据数阵中数的排列规律，可得第n行的从左到右第m+1个数为C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n），由此即可算出第20行中从左到右的第4个数的大小；
（2）由条件知，A=2ⁿ，B=1+2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，建立关于n的方程并化简整理，解之可得n=5；
（3）根据题意，所求结论可表示为C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）．再由组合数的性质：C_m^m+C_m^m-1=C_m+1^m，代入等式的左边进行化简整理，即可得到该等式成立

解答解：（1）由题意，得第n行的从左到右第m+1个数C_n^m，（n∈N，m∈N且m≤n），
∴第20行中从左到右的第19个数C₂₀¹⁸=C₂₀²=190；
（2）由条件知，A=2ⁿ，B=1+2+2²+2³+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，
由A+B=95，得2ⁿ=32，所以，n=5．
（3）用公式表示为：C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）
证明：左式=C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=C_m^m+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+1^m+C_m+1^m-1+…+C_m+k-2^m-1
=…=C_m+k-2^m+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m=右式
即等式C_m-1^m-1+C_m^m-1+…+C_m+k-2^m-1=C_m+k-1^m（m、k∈N^*且k≤m）成立．