题目内容
【题目】已知椭圆C:(
)的离心率为
,点
在椭圆C上,直线
与椭圆C交于不同的两点A,B.
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线,
分别交y轴于M,N两点,问:x轴上是否存在点Q,使得
?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在;点
【解析】
(1)根据椭圆的基本性质列出方程组,求解即可;
(2)假设存在点Q使得,根据几何关系得出
,进而得到
,设出直线
,
的方程,得出
的纵坐标,进而得到
,结合
,解出
的值,求出点Q的坐标.
解:(1)由题意
解得,
.
所以椭圆C的方程为.
(2)假设存在点Q使得.设
因为,所以
.则
.
即,所以
.
因为直线交椭圆C于A,B两点,则A,B两点关于y轴对称.
设,
(
),
因为,则直线
的方程为:
.
令,得
.
直线的方程为:
.
令,得
.
因为,所以
.
又因为点在椭圆C上,所以
.
所以.即
.
所以存在点使得
成立.
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