题目内容
【题目】已知点是椭圆
的左、右顶点,
为左焦点,点
是椭圆上异于
的任意一点,直线
与过点
且垂直于
轴的直线
交于点
,直线
于点
.
(1)求证:直线与直线
的斜率之积为定值;
(2)若直线过焦点
,
,求实数
的值.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)设,利用点在椭圆上的条件,化简
,得到定值;(2)设直线
的斜率分别是
,并且表示直线
,以及求出交点
的坐标,根据
,表示直线
的斜率,根据
三点共线,表示
,得到
的齐次方程,求
的值,并且代入求
的值.
试题解析:(1)证明:设,由已知
,
∴.①
∵点在椭圆上,∴
.②
由①②得(定值).
∴直线与直线
的斜率之积为定值
.
(2)设直线与
斜率分别为
,由已知
,
直线的方程为
,
直线,则
.
∵,∴
.
由(1)知,故
,
又三点共线,得
,
即,得
.
∵,∴
,
,解得
或
(舍去).
∴.
由已知,得
,
将代入,得
,故
.
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