题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点为,
是椭圆上一点,若
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线过右焦点
(不与
轴重合)且与椭圆相交于不同的两点
,在
轴上是否存在一个定点
,使得
的值为定值?若存在,写出
点的坐标(不必求出定值);若不存在,说明理由.
【答案】(1);(2)
-.
【解析】试题分析:(1)根据题意列出关于 、
、
的方程组,结合性质
, ,求出
、
、
,即可得结果;;(2)设直线方程为
与椭圆方程联立,设出
点坐标,根据韦达定理及平面向量数量积公式将
用
表示,进而可得结果.
试题解析:(1)由题意:c=,|
|2+|
|2=(2c)2=20 |
|·|
|=8
∴(||+|
|)2=|
|2+|
|2+2|
|·|
|=36 解得: |
|+|
|=6
2a=6 ∴a=3 b2=a2-c2=4
∴椭圆的方程为: +
=1
(2)解法一:设直线l的方程为:x=my+
代入椭圆方程并消元整理得:(4m2+9)x2-18x+45-36m2=0…………………①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则是方程①的两个解,由韦达定理得:
x1+x2=, x1x2=
y1y2=
(x1-
)(x2-
)=
( x1x2-
(x1+x2)+5)=
·
=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2
=-
x0+x02+
=
令·
=t 则(4x02-36)m2+9x02-18
x0+29= t(4m2+9)
比较系数得:4x02-36=4t且9x02-18x0+29=9t 消去t得:
36x02-36×9=36x02-72x0+29×4 解得:x0=
∴在x轴上存在一个定点P(,0),使得
·
的值为定值(-
);
解法二:当直线与x轴不垂直时,设直线l方程为:y=k(x-),代入椭圆方程并消元整理得:
(9k2+4)x2-18k2x+45k2-36=0………………①
设A(x1,y1),B(x2,y2),则是方程①的两个解,由韦达定理得:
x1+x2=, x1x2=
y1y2=k2(x1-
)(x2-
)=k2( x1x2-
(x1+x2)+5)=
·
=(x1-x0,y1) ·(x2-x0,y2)=( x1-x0)( x2-x0)+ y1y2= x1x2- x0(x1+x2)+x02+ y1y2
=
令·
=t 则(9x02-18
x0+29)k2+4x02-36= t(4+9k2)
9x02-18x0+29=9 t且 4x02-36=4t
解得:x0= 此时t的值为-
当直线l与x轴垂直时,l的方程为:x=,代入椭圆方程解得:A(
,-
),B(
,
)
·
=(-
,-
)·(-
,
)=
-
=-
∴当直线l与x轴垂直时,·
也为定值-
综上, 在x轴上存在一个定点P(,0),使得
·
的值为定值(-
)

【题目】某网络营销部门为了统计某市网友2016年12月12日的网购情况,从该市当天参与网购的顾客中随机抽查了男女各30人,统计其网购金额,得到如下频率分布直方图:
网购达人 | 非网购达人 | 合计 | |
男性 | 30 | ||
女性 | 12 | 30 | |
合计 | 60 |
若网购金额超过千元的顾客称为“网购达人”,网购金额不超过
千元的顾客称为“非网购达人”.
(Ⅰ)若抽取的“网购达人”中女性占12人,请根据条件完成上面的列联表,并判断是否有99%的把握认为“网购达人”与性别有关?
(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验,从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定12人,若需从这12人中随机选取
人进行问卷调查.设
为选取的
人中“网购达人”的人数,求
的分布列和数学期望.
(参考公式: ,其中
)
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |