题目内容

已知椭圆两焦点坐标分别为,,且经过点
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)已知点,直线与椭圆交于两点.若△是以为直角顶点的等腰直角三角形,试求直线的方程.

(Ⅰ)(Ⅱ).

解析试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义可求得,再根据,可求得。即可求出椭圆方程。(Ⅱ)由点斜式设出直线方程,然后联立,消掉(或)得到关于的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0,再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否,为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解, 注意讨论根的取舍。
试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为.依题意
,所以
,所以
于是椭圆的标准方程为.                       5分
(Ⅱ)依题意,显然直线斜率存在.设直线的方程为,则

因为,得.        ①
,线段中点为,则
于是
因为,线段中点为,所以
(1)当,即时,
,整理得.           ②
因为
所以

整理得,解得
时,由②不合题意舍去.
由①②知,时,
(2)当时,
(ⅰ)若时,直线的方程为,代入椭圆方程中得.
,依题意,若△为等腰直角三角形,则
.即,解得.不合题意舍去,
即此时直线的方程为.
(ⅱ)若时,即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形.
综上,直线的方程为

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