Question

【题目】如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．
（I）求证：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（I）以点C为坐标原点，以直线CD，CB，CP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系C﹣xyz，
则C（0，0，0），A（2，1，0），B（0，3，0），P（0，0，2），D（2，0，0），E（1，2，0）．
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴DE⊥CA，DE⊥CP，
又CP∩CA=C，AC平面PAC，CP平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，∵DE平面PDE，
∴平面PDE⊥平面PAC．
（Ⅱ） ，
设 是平面PDE的一个法向量，则 ，
∴ ，
令x=2，则y=1，z=2，即 ，
∴ =4，| |=3，| |=2，
∴cos＜ ＞= = ．
∴直线PC与平面PDE所成的角的正弦值为 ．

【解析】（I）点C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出向量 ， ， 的坐标，根据数量积得出DE⊥AC，DE⊥CP，故而DE⊥平面PAC，于是平面PDE⊥平面PAC；（II）求出平面PDE的法向量 ，计算 与 的夹角，则直线PC与平面PDE所成的角的正弦值等于|cos＜ ＞|．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．