Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x﹣1），g（x）=loga（3﹣x）（a＞0且a≠1）
（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域；
（2）利用对数函数的单调性，讨论不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：要使函数h（x）=f（x）﹣g（x）=loga（x﹣1）﹣loga（3﹣x）有意义，

需 ，解得 1＜x＜3，故函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域为（1，3）

（2）解：∵不等式f（x）≥g（x），即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），

∴当a＞1时，有 ，解得 2≤x＜3．

当1＞a＞0时，有 ，解得 1＜x≤2．

综上可得，当不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围为（1，3）

【解析】（1）由题意得 ，解得x的取值范围，即可得到函数h（x）=f（x）﹣g（x）的定义域．（2）不等式即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x），分a＞1和1＞a＞0两种情况，利用对数函数的单调性，分别求出
不等式f（x）≥g（x）中x的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解对数函数的定义域的相关知识，掌握对数函数的定义域范围:（0，+∞），以及对对数函数的单调性与特殊点的理解，了解过定点（1，0），即x=1时，y=0;a>1时在（0，+∞）上是增函数;0>a>1时在（0，+∞）上是减函数．