Question

【题目】首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可知，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为 ，

∴二氧化碳每吨的平均处理成本为 ，

当且仅当 x= ，即x=300时等号成立，

故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为100元

（2）解：该单位每月能获利．

设该单位每月获利为S元，则

S=200x﹣y=﹣ x2+400x﹣45000=﹣ （x﹣400）2+35 000，

因为x∈[300，600]，所以S∈[15 000，35 000]．

故该单位每月获利，最大利润为35000元

【解析】（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y= x2﹣200x+45000，两边同时除以x，然后利用基本不等式从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=200x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解