题目内容
19．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$）．（1）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1．求cos（2x+$\frac{π}{3}$）的值
（2）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$．求sinx的值．
分析 （1）由向量的数量积的坐标表示，运用二倍角公式和两角和的正弦公式，计算即可得到；
（2）由向量垂直的条件：数量积为0，运用二倍角公式和同角公式，计算即可得到所求值．
解答 解：（1）若$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=1，则$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos2$\frac{x}{2}$=1，
即为$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx+$\frac{1}{2}$（1+cosx）=1，
则sin（x+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
即有cos（2x+$\frac{π}{3}$）=1-2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=1-2×$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$；
（2）若$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$，则$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，
则$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$+cos2$\frac{x}{2}$=0，
即有tan$\frac{x}{2}$=$\frac{sin\frac{x}{2}}{cos\frac{x}{2}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
则sinx=2sin$\frac{x}{2}$cos$\frac{x}{2}$=$\frac{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}}{si{n}^{2}\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}$
=$\frac{2tan\frac{x}{2}}{1+ta{n}^{2}\frac{x}{2}}$=$\frac{-\frac{2\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{1}{3}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和向量垂直的条件，考查二倍角公式和两角和的正弦公式，属于中档题．
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