Question

14．设向量$\overrightarrow{i}$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），动点P（x，y），记向量$\overrightarrow{a}$=（x+m）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=（x-m）$\overrightarrow{i}$+y$\overrightarrow{j}$，且|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=6，这里m为常数，且0＜m＜3，x≥0，y∈R．
（1）求动点P（x，y）的轨迹方程；
（2）当m=2时，设Q（1，0），求|PQ|的最大值和最小值；
（3）已知点A（-1，0），直线l：y=$\frac{1}{3}$（x-1）与点P的轨迹交于M、N两点，问是否存在实数m，使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{26}{9}$？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由已知得到$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}=6$，即点P（x，y）到点（-m，0）与点（m，0）的距离之和为6，再由m的范围可知点P的轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆，则椭圆方程可求；
（2）由两点间的距离公式得到|PQ|，利用配方法求得最值；
（3）联立直线方程和椭圆方程，由根与系数的关系结合$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{26}{9}$求得m值，验证判别式大于0得答案．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{i}$=（1，0），$\overrightarrow{j}$=（0，1），|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow{b}$|=6，∴$\sqrt{（x+m）^{2}+{y}^{2}}+\sqrt{（x-m）^{2}+{y}^{2}}=6$，
即点P（x，y）到点（-m，0）与点（m，0）的距离之和为6．
设F₁（-m，0），F₂（m，0），∴|F ₁F₂|=2m，|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|，
由椭圆定义知点P的轨迹C是以F₁、F₂为焦点的椭圆．
∵2a=6，2c=2m，∴a=3，c=m，∴b²=a²-c²=9-m²，
∴所求轨迹C方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{9-{m}^{2}}=1$；
（2）m=2时，椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．
∵P（x，y），Q（1，0），
∴|PQ|=$\sqrt{（x-1）^{2}+{y}^{2}}=\sqrt{{x}^{2}-2x+1+5-\frac{5}{9}{x}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{4}{9}{x}^{2}-2x+6}$=$\sqrt{\frac{4}{9}（x-\frac{9}{4}）^{2}+\frac{15}{4}}$．
∵-3≤x≤3，
∴当x=$\frac{9}{4}$时，|PQ|有最小值为$\frac{\sqrt{15}}{2}$，当x=-3时，|PQ|有最大值为4；
（3）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{3}（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{9-{m}^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（10-m²）x²-2x+9m²-80=0．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2}{10-{m}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{9{m}^{2}-80}{10-{m}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{AM}=（{x}_{1}+1，{y}_{1}），\overrightarrow{AN}=（{x}_{2}+1，{y}_{2}）$，
由$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=$\frac{8}{9}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{10}{9}（{x}_{1}{x}_{2}+1）$
=$\frac{8}{9}•\frac{2}{10-{m}^{2}}+\frac{10}{9}（\frac{9{m}^{2}-80}{10-{m}^{2}}+1）$=$\frac{26}{9}$．
解得：m²=$\frac{477}{53}$，即m=±$\sqrt{\frac{477}{53}}$．
验证此时满足△＞0．
∴存在实数m=±$\sqrt{\frac{477}{53}}$，使得$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$=$\frac{26}{9}$．

点评 本题考查利用向量求曲线的方程，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查计算能力，属中高档题．