题目内容
【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆
过点
,且椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点.
(I)求椭圆C的离心率和标准方程。
(II)圆与椭圆C交于A,B两点,R为线段AB上任一点,直线
交椭圆C于P,Q两点,若AB为圆
的直径,且直线
的斜率大于1,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)
.
【解析】
(Ⅰ)利用椭圆C过点,∵椭圆C关于直线x=c对称的图形过坐标原点,推出a=2c,然后求解椭圆C的离心率,标准方程.
(Ⅱ)设A(),B(
),利用中点坐标公式以及平方差法求出AB的斜率,得到直线AB的方程,代入椭圆C的方程求出点的坐标,设F1R:y=k(x+1),联立
,设P(x3,y3),Q(x4,y4),利用韦达定理,结合
,
,化简|PF1||QF1|,通过
,求解|PF1||QF1|的取值范围.
(Ⅰ)∵椭圆过点
,∴
,①
∵椭圆关于直线
对称的图形过坐标原点,∴
,
∵,∴
,②
由①②得,
,
∴椭圆的离心率
,标准方程为
.
(Ⅱ)因为为圆
的直径,所以点
为线段
的中点,
设,
,则,
,又
,
所以,则
,故
,则直线
的方程为
,即
.代入椭圆
的方程并整理得
,
则,故直线
的斜率
.
设,由
,得
,
设,
,则有
,
.
又,
,
所以=
,
因为,所以
,
即的取值范围是
.

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