题目内容
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,点
在抛物线
上,
为坐标原点,
,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)过焦点,且斜率为1的直线
与抛物线
交于
,
两点,线段
的垂直平分线
交抛物线
于
,
两点,求四边形
的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)先由题,将抛物线求得
,再根据
,且
求得p的值,得出抛物线方程.
(2)先将直线的方程与抛物线联立,求得中点
和
,再求出
的方程联立抛物线求得
,最后求得面积即可.
解:(1)将代入抛物线的方程
,得
,所以
,
因为,所以
,整理得
,
解得或
,
当时,
,满足
;当
时,
,
,
所以抛物线的方程为
.
(2)因为的方程为
,代入
:
,得
.
设,
,则
,
,故
的中点为
,
.
又因为的斜率为-1,所以
的方程为
即
.
将上式代入:
,并整理得
.
设,
,则
,
,
故.
所以四边形的面积
.
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