Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x）是减函数，且对任意的a∈R，都有f（﹣a）+f（a）=0，若x、y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，则当1≤x≤4时，x﹣3y的最大值为（ ）
A.10
B.8
C.6
D.4

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由于任意的a∈R都有f（﹣a）+f（a）=0，可知函数y=f（x）为奇函数，
由f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0可得f（x2﹣2x）≤﹣f（2y﹣y2），
由函数为奇函数可得式f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2），
∵函数y=f（x）为R上的减函数，
∴x2﹣2x≥﹣2y+y2 ， 即x2﹣y2﹣2（x﹣y）≥0，
整理可得，（x+y﹣2）（x﹣y）≥0，
作出不等式组 所表示的平面区域即可行域如图所示的△ABC．

令Z=x﹣3y，则Z表示x﹣3y﹣z=0在y轴上的截距的相反数，
由图可知，当直线经过点C（4，﹣2）时Z最大，最大值为Z=4﹣3×（﹣2）=10；
故选：A．
【考点精析】关于本题考查的奇偶性与单调性的综合，需要了解奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能得出正确答案．