题目内容
【题目】在数列中,
,其前
项和为
,满足
,其中
.
(1)设,证明:数列
是等差数列;
(2)设为数列
的前
项和,求
;
(3)设数列的通项公式为
为非零整数
),试确定
的值,使得对任意
,都有数列
为递增数列.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)
【解析】试题分析:当数列提供与
之间的递推关系时,证明某数列是等差数列,就是证明第n+1项与第n项的比是一个常数,这个分析给证明提供一个暗示,有了证明的目标,第一步n=1 时,求出首项,第二步,当
时利用
与
两式相减,得出
和
的关系,达到证明的目的;利用错位相减法求和,要注意运算的准确,借助数列是递增数列,根据不等式恒成立的要求,利用“极值原理”求出参数的范围.
试题解析:
(1)当时,
,所以
,
当时,
,
所以,即
,所以
(常数)
又,所以
是首项为2,公差为1的对称数列,所以
.
(2),
所以,
,
相减得,
所以.
(3)若数列为递增数列,可得
,得
,
化简得,
即,
进而对任意
恒成立,
当为奇数时,
,所以
;
当为偶数时,
,所以
,
所以,又
为非零整数,所以
.
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