题目内容
【题目】已知椭圆的中心为
,左、右焦点分别为
、
,上顶点为
,右顶点为
,且
、
、
成等比数列.
(1)求椭圆的离心率;
(2)判断的形状,并说明理由.
【答案】(1);(2)直角三角形,理由见解析
【解析】
(1)设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、
、
,由题设可得
及
,消
得a、c齐次式,解得离心率;
(2)设椭圆的方程为
,则
,
,
,
.方法一:利用向量
,方法二:利用斜率
,方法三:利用勾股定理
,可得到
是直角三角形.
(1)设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、
、
,
则、
、
.
由题设及
,消
得:
即
.
解得:或
.
又,则
.
(2)方法一:设椭圆的方程为
,
则,
,
,
.
∴,
,
∴,∴
,
故,∴
是直角三角形.
方法二:设椭圆的方程为
,
则,
,
,
.
∴,
,
∴,∴
,
故,∴
是直角三角形.
方法三:由条件得:在中,
,
,
.
,
,
∴,
故,∴
是直角三角形.
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