题目内容
【题目】已知椭圆
的中心为
，左、右焦点分别为
、
，上顶点为
，右顶点为
，且
、
、
成等比数列.
（1）求椭圆的离心率；
（2）判断
的形状，并说明理由.
【答案】（1）
；（2）直角三角形，理由见解析
【解析】
（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为
、
、
，由题设可得
及
，消
得a、c齐次式，解得离心率；
（2）设椭圆
的方程为
，则
，
，
，.方法一：利用向量
，方法二：利用斜率
，方法三：利用勾股定理
，可得到
是直角三角形.
（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为、、，
则
、
、
.
由题设及，消得：
即
.
解得：或
.
又
，则.
（2）方法一：设椭圆的方程为，
则，，，.
∴
，
，
∴
，∴
，
故
，∴是直角三角形.
方法二：设椭圆的方程为，
则，，，.
∴
，
，
∴
，∴
，
故，∴是直角三角形.
方法三：由条件得：在中，
，
，
.
，
，
∴，
故，∴是直角三角形.
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