题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,试判断
的符号;
(2)讨论的零点的个数.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)当或
时,
有
个零点;当
且
时,
有
个零点
【解析】
(1)首先计算得到,设
,利用二次求导,判断函数的单调性,
和
比较大小;
(2)首先求函数的导数,讨论
,
两种情况讨论函数的单调性,判断函数的零点个数,当
时,
,
设,再次求函数的导数,判断函数的单调性和最小值,讨论求函数的零点个数.
解:(1).
设,则
.
设,则
,
∴当时,
;当
时,
.
∴当时,
.故
,从而
.
∴在
上单调递增.
∴当时,
,从而
;
当时,
,从而
;
当时,
,从而
.
(2)的定义域为
,
.
∴当时,
,故
在
上单调递增,
又,∴
有
个零点.
当时,令
,得
;令
,得
.
∴在上
上单调递减,在
上单调递增.
∴.
设,则
.
∴当时,
;当
时,
.∴
.
∴当时,
,即
,
又当时,
;当
时,
;故
有
个零点.
当时,
,故
有
个零点.
当时,
,即
,
又当时,
;由(1)知
,故
有
个零点.
当或
时,
有
个零点;当
且
时,
有
个零点.
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的回归方程;
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附注:对于一组数据,
,…,
,其回归直线
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,(说明:
的导函数为
)