题目内容
【题目】如图所示,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,
,
,
,点E为AD的中点,
,
平面ABCD,且
求证:
;
线段PC上是否存在一点F,使二面角
的余弦值是
?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
推导出
,
,从而
,由
平面
,得
,由此能证明
平面
,从而
推导出
两两垂直,建立以
为坐标原点,
所在直线分别为
,
,
轴的坐标系,利用向量法能求出线段
上存在一点
,当点
满足
时,二面角
的余弦值是
证明:,
,
,
,E为AD的中点,
,
≌
,
,
,
,
,
又平面ABCD,
平面ABCD,
,
又,且PH,
平面PEC,
平面PEC,
又平面PEC,
.
解:由
可知
∽
,
由题意得,
,
,
,
,
,
,
、EC、BD两两垂直,
建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系,
0,
,
0,
,
4,
,
0,
,
0,
,
假设线段PC上存在一点F满足题意,
与
共线,
存在唯一实数
,
,满足
,
解得,
设向量y,
为平面CPD的一个法向量,且
,
,
,取
,得
,
同理得平面CPD的一个法向量,
二面角
的余弦值是
,
,
由,解得
,
,
,
线段PC上存在一点F,当点F满足
时,二面角
的余弦值是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某高校共有15000人,其中男生10500人,女生4500人,为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时)
(1)应收集多少位女生样本数据?
(2)根据这300个样本数据,得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为:.估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率.
(3)在样本数据中,有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时.请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表,并判断是否有的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附:
0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |