Question

17．已知A、B是圆x²+y²=16上的两点，且AB=6，若以AB为直径的圆M恰好经过（1，-1），则圆的标准方程是（x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9或（x+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9．

Answer 1

分析 根据题意可推断出CM=$\frac{1}{2}$AB=3，进而断定点M在以C为圆心，以3为半径的圆上，进而求得M的坐标，即可求出圆的标准方程．

解答 解：因为点C（1，-1）在以AB为直径的圆M上，所以CM=$\frac{1}{2}$AB=3，从而点M在以C为圆心，以3为半径的圆上．
则可得（x-1）²+（y+1）²=9．
因为A、B是圆O：x²+y²=16上的两点，且|AB|=6，
若以AB为直径的圆M，且|OM|=$\sqrt{7}$，圆心M应该在圆x²+y²=7上．
所以M是两个圆的交点：即（$\frac{\sqrt{14}}{2}$，$\frac{\sqrt{14}}{2}$）或（-$\frac{\sqrt{14}}{2}$，-$\frac{\sqrt{14}}{2}$），
所以圆的标准方程是（x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9或（x+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9．
故答案为：（x-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9或（x+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²+（y+$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=9．

点评 本题主要考查了圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．解题的关键是把问题转化为以圆心M问题上．