题目内容
【题目】设函数x∈R,其中a,b∈R.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)= f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;
(Ⅲ)设a>0,函数g(x)= |f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题(Ⅰ)先求函数的导数,再根据导函数零点是否存在,分类讨论;(Ⅱ)由题意得
,计算可得
.再由
及单调性可得结论;(Ⅲ)实质研究函数
最大值:主要比较
,
的大小即可,可分三种情况研究:①
;②
;③
.
试题解析:(Ⅰ)解:由,可得
.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有
恒成立,所以
的单调递增区间为
.
(2)当时,令
,解得
,或
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知
,且
,
由题意,得,即
,
进而.
又,且
,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数
满足
,且
,因此
,所以
.
(Ⅲ)证明:设在区间
上的最大值为
,
表示
两数的最大值.下面分三种情况讨论:
(1)当时,
,由(Ⅰ)知,
在区间
上单调递减,所以
在区间
上的取值范围为
,因此
,
所以.
(2)当时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
,
所以在区间
上的取值范围为
,因此
.
(3)当时,
,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,
,
所以在区间
上的取值范围为
,因此
.
综上所述,当时,
在区间
上的最大值不小于
.
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