题目内容
2．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是1颗珠宝，第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形，第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形，第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形，第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第6件首饰上应有66颗珠宝；则第n件首饰所用珠宝总数为2n2-n颗．（结果用n表示）
分析 由题意可知a1，a2，a3，a4，a5的值，则a2-a1=5，a3-a2=9，a4-a3=13，a5-a4=17，猜想a6-a5=21，从而得a6的值和an-an-1=4n-3，所以（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+（a6-a5）+…+（an-an-1）=an-a1求得通项公式an．
解答 解：由题意，知a1=1，a2=6，a3=15，a4=28，a5=45，a6=66，…；
∴a2-a1=5，
a3-a2=9，
a4-a3=13，
a5-a4=17，
a6-a5=21，
…，
an-an-1=4n-3；
∴（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+（a5-a4）+（a6-a5）+…+（an-an-1）
=an-a1=5+9+13+17+21+…+（4n-3）=2n2-n-1；
∴an=2n2-n．
故答案为：66；2n2-n．
点评 本题考查了数列的递推关系以及求和公式的综合应用，解题时要探究数列的递推关系，得出通项公式，并能正确求和．
练习册系列答案
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14．$sin\frac{5π}{6}$的值是（ ）
| A． | $-\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{2}$ | C． | $-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ | D． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ |