题目内容
17.已知等差数列{an}的首项a1=4,a2+a6=26;各项为正数的等比数列{bn}中,a5•b4=1,b3=4b5(1)求数列{an}、{bn}的通项公式
(2)记cn=an•bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
分析 (1)通过将出现的项均用首项和公差(公比)表示出来,联立方程组,计算即得结论;
(2)通过(1)可知cn=(3n+1)$\frac{1}{{2}^{8-n}}$,进而利用错位相减法计算即得结论.
解答 解:(1)依题意,2a1+6d=26,
即8+6d=26,解得:d=3,
∴an=4+3(n-1)=3n+1,
∵q2=$\frac{{b}_{5}}{{b}_{3}}$=4,q>0,
∴q=2,
∴b1=$\frac{1}{{a}_{5}{q}^{3}}$=$\frac{1}{16•8}$=$\frac{1}{{2}^{7}}$,
∴bn=$\frac{1}{{2}^{8-n}}$;
(2)由(1)可知cn=an•bn=(3n+1)$\frac{1}{{2}^{8-n}}$,
∴Tn=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+7•$\frac{1}{{2}^{6}}$+…+(3n+1)$\frac{1}{{2}^{8-n}}$,
2Tn=4•$\frac{1}{{2}^{6}}$+7•$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+(3n-2)$\frac{1}{{2}^{8-n}}$+(3n+1)$\frac{1}{{2}^{7-n}}$,
错位相减得:-Tn=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3($\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{1}{{2}^{5}}$+…+$\frac{1}{{2}^{8-n}}$)-(3n+1)$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3•$\frac{\frac{1}{{2}^{6}}(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(3n+1)$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=4•$\frac{1}{{2}^{7}}$+3•($\frac{1}{{2}^{7-n}}$-$\frac{1}{{2}^{6}}$)-(3n+1)$\frac{1}{{2}^{7-n}}$
=-$\frac{1}{{2}^{6}}$-$\frac{2-3n}{{2}^{7-n}}$,
∴Tn=$\frac{1}{{2}^{6}}$+$\frac{3n-2}{{2}^{7-n}}$.
点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查运算求解能力,考查分类讨论的思想,注意解题方法的积累,属于中档题.
A. | a<b<c | B. | b<c<a | C. | c<b<a | D. | c<a<b |
A. | 充要条件 | B. | 充分不必要条件 | ||
C. | 必要不充分条件 | D. | 既不充分也不必要条件 |