题目内容
已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且,求的值.
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,已知点的坐标为,点在线段的垂直平分线上,且,求的值.
(1)(2)或
(1)由,得,再由,得
由题意可知,即.
解方程组 得,所以椭圆的方程为.
(2)解:由(1)可知.设B点的坐标为,直线l的斜率为k,则直线l的方程为,
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去整理,得
由得
设线段AB是中点为M,则M的坐标为,
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0).
此时线段AB的垂直平分线为y轴,于是
∵,∴
(2)当时,线段AB的垂直平分线方程为
令,解得
由
整理得,∴
综合知: 或
由题意可知,即.
解方程组 得,所以椭圆的方程为.
(2)解:由(1)可知.设B点的坐标为,直线l的斜率为k,则直线l的方程为,
于是A,B两点的坐标满足方程组
由方程组消去整理,得
由得
设线段AB是中点为M,则M的坐标为,
以下分两种情况:
(1)当k=0时,点B的坐标为(2,0).
此时线段AB的垂直平分线为y轴,于是
∵,∴
(2)当时,线段AB的垂直平分线方程为
令,解得
由
整理得,∴
综合知: 或
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