Question

20．已知两个单位向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$，设向量$\overrightarrow c=\overrightarrow a+t\overrightarrow b$，其中t∈R，当$|{\overrightarrow c}|$取最小值时，t=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意可得$|{\overrightarrow c}|$²=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，由二次函数的最值可得．

解答 解：由题意可得$|{\overrightarrow c}|$²=$（\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}）^{2}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}$+2t$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${t}^{2}{\overrightarrow{b}}^{2}$
=1+2t×$1×1×\frac{1}{2}$+t²
=t²+t+1=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$，
由二次函数可知当t=-$\frac{1}{2}$时，$|{\overrightarrow c}|$²取最小值$\frac{3}{4}$，
∴当$|{\overrightarrow c}|$取最小值$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，t=$-\frac{1}{2}$
故答案为：$-\frac{1}{2}$

点评 本题考查平面向量的模长公式，涉及二次函数的最值，属基础题．