Question

12．设向量$\overrightarrow a=（λ+2，{λ^2}-\sqrt{3}cos2α）$，向量$\overrightarrow a=（m，\frac{m}{2}+sinαcosα）$，其中λ，m，α为实数．若向量$\overrightarrow a=2\overrightarrow b$，则$\frac{λ}{m}$的取值范围为[-6，1]．

Answer 1

分析 根据$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{b}$λm，结合三角函数的恒等变换，求出m的取值范围，再求$\frac{λ}{m}$的取值范围即可．

解答 解：∵向量$\overrightarrow a=（λ+2，{λ^2}-\sqrt{3}cos2α）$，向量$\overrightarrow a=（m，\frac{m}{2}+sinαcosα）$，向量$\overrightarrow a=2\overrightarrow b$，
∴$\left\{\begin{array}{l}λ+2=2m…①\\{λ}^{2}-\sqrt{3}cos2α=m+2sinαcosα…②\end{array}\right.$，
把①代入②得，（2m-2）²-$\sqrt{3}$cos2α=m+sin2α，
∴4m²-9m+4=sin2α+$\sqrt{3}$cos2α=2sin（2α+$\frac{π}{3}$），
∴-2≤4m²-9m+4≤2；
解得$\frac{1}{4}$≤m≤2；∴$\frac{2}{m}∈[1，8]$，$-\frac{2}{m}∈[-8，-1]$
∴$\frac{λ}{m}$=$\frac{2m-2}{m}$=2-$\frac{2}{m}$∈[-6，1]．
故答案为：[-6，1]．

点评 本题考查了平面向量的应用问题，也考查了三角恒等变换的应用问题，还考查了求函数的最值问题，是综合题．