题目内容

7．设P是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）右支上的任意一点，已知A（a，b），B（a，-b），若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$（O为坐标原点），则λ2+μ2的最小值为（　　）
A．$\frac{1}{4}$abB．$\frac{1}{4}$C．$\frac{1}{2}$abD．$\frac{1}{2}$

分析 确定A，B的坐标，根据$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，确定坐标之间的关系，可得4λμ=1，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：由题意，设P（x，y），则
∵$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
∴x=（λ+μ）a，y=（λ-μ）b
∵P为双曲线C右支上的任意一点，
∴（λ+μ）2-（λ-μ）2=1
∴4λμ=1
∴λ2+μ2≥2λμ=$\frac{1}{2}$
∴λ2+μ2的最小值为$\frac{1}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查向量知识的运用，考查基本不等式的运用，属于中档题．

练习册系列答案
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