题目内容
【题目】已知四棱柱的底面是边长为
的菱形,且
,
平面
,
,设
为
的中点
(1)求证:平面
(2)点在线段
上,且
平面
,求平面
和平面
所成锐角的余弦值.
【答案】(1)证明略;(2)
【解析】
试题分析:(1)由已知该四棱柱为直四棱柱,且为等边三角形,
,所以
平面
,故
,在
中的三边长分别为
,所以
,所以
,故
平面
;
(2)取中点
,则由
为等边三角形,知
,从而
,以
为坐标轴,建立空间直角的坐标系,求得平面
和平面
的法向量,即可求得平面
和平面
所成锐角的余弦值.
试题解析:(1)证明:由已知该四棱柱为直四棱柱,且为等边三角形,
所以平面
,而
平面
,故
因为的三边长分别为
,故
为等腰直角三角形
所以,结合
知:
平面
(2)解:取中点
,则由
为等边三角形
知,从而
以为坐标轴,建立如图所示的坐标系
此时,
,设
由上面的讨论知平面的法向量为
由于平面
,故
平面
故,故
设平面的法向量为
,
由知
,取
,故
设平面和平面
所成锐角为
,则
即平面和平面
所成锐角的余弦值为
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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