题目内容

已知函数f(n)=log(n+1)(n+2)(n∈N*),若存在正整数k满足:f(1)•f(2)•f(3)•…•f(n)=k,那么我们把k叫做关于n的“对整数”,则当n∈[1,10]时,“对整数”共有(  )
A.1个B.2个C.4个D.8个
由题意,根据换底公式得,f(x)=log(x+1) (x+2)=
lg(x+2)
lg(x+1)

所以k=f(1)f(2)f(3)…f(x)=
lg3
lg2
lg4
lg3
lg5
lg4
lg(x+2)
lg(x+1)
=
lg(x+2)
lg2
=log2(x+2).
∵1≤x≤10,∴log23≤log2(x+2)≤log212
整数有log24,log28,即2,3,两个整数.
故选:B.
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