题目内容

【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形, ,侧面底面 分别为的中点,点在线段上.

(Ⅰ)求证: 平面

(Ⅱ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.

【答案】)详见解析(

【解析】试题分析:)线面垂直的证明,往往利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,一般从两个方面,一是利用平几知识,如本题经解三角形可得,再根据中点条件得平行条件,从而可得.二是利用线面位置关系有关定理进行转化,如本题利用面面垂直的性质定理可得线面垂直,再根据线面垂直性质定理可得线线垂直.)解决有关线面角的问题,一般利用空间向量数量积进行处理比较方便,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出面的法向量,再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角之间关系列等量关系,求出比值.

试题解析:

证明:在平行四边形中,因为

所以.由分别为的中点,得

所以

因为侧面底面,且,所以底面

又因为底面,所以

又因为 平面 平面

所以平面

(Ⅱ)解:因为底面 ,所以两两垂直,

分别为,建立空间直角坐标系,

所以

,则

所以 ,易得平面的法向量

设平面的法向量为,由

, 得

因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,

所以,即,所以

解得,或(舍). 综上所得:

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