题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面是平行四边形, ,侧面底面, , , 分别为的中点,点在线段上.
(Ⅰ)求证: 平面;
(Ⅱ)如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等,求的值.
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】试题分析:(Ⅰ)线面垂直的证明,往往利用线面垂直判定定理,即从线线垂直出发给予证明,而线线垂直的寻找与论证,一般从两个方面,一是利用平几知识,如本题经解三角形可得,再根据中点条件得平行条件,从而可得.二是利用线面位置关系有关定理进行转化,如本题利用面面垂直的性质定理可得线面垂直,再根据线面垂直性质定理可得线线垂直.(Ⅱ)解决有关线面角的问题,一般利用空间向量数量积进行处理比较方便,先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解出面的法向量,再根据向量数量积求出直线向量与法向量夹角余弦值,最后根据线面角与向量夹角之间关系列等量关系,求出比值.
试题解析:
(Ⅰ)证明:在平行四边形中,因为, ,
所以.由分别为的中点,得,
所以.
因为侧面底面,且,所以底面.
又因为底面,所以.
又因为, 平面, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)解:因为底面, ,所以两两垂直,
以分别为、、,建立空间直角坐标系,
则,
所以, , ,
设,则,
所以, ,易得平面的法向量.
设平面的法向量为,由, ,得
令, 得.
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等,
所以,即,所以 ,
解得,或(舍). 综上所得:
【题目】参加衡水中学数学选修课的同学,对某公司的一种产品销量与价格进行统计,得到如下数据和散点图:
定价(元/) | ||||||
年销售 | ||||||
(参考数据:
)
(I)根据散点图判断,与,与哪一对具有较强的线性相关性(给出判断即可,不必说明理由)?
(II)根据(I)的判断结果有数据,建立关于的回归方程(方程中的系数均保留两位有效数字);
(III)定价为多少元/时,年利润的预报值最大?
附:对一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:.