题目内容
12.设函数y=f(x),x∈R,f(x)≠0,对任意的实数均有f(x+y)=f(x)•f(y)成立.(1)求f(0);
(2)求证:f(-1)=$\frac{1}{f(1)}$;
(3)求证:f(x)>0对任意x都成立.
分析 (1)令x=y=0.,即可求f(0);
(2)令x=1,y=-1,即可证明f(-1)=$\frac{1}{f(1)}$;
(3)结合条件即可证明f(x)>0对任意x都成立.
解答 解:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)•f(0),
∵f(x)≠0,
∴f(0)=1;
(2)令x=1,y=-1,则f(1-1)=f(1)f(-1)=f(0)=1,
即f(-1)=$\frac{1}{f(1)}$;
(3)f(x)=f($\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$)=f($\frac{x}{2}$)f($\frac{x}{2}$)=f2($\frac{x}{2}$),
∵f(x)≠0,
∴f(x)=f2($\frac{x}{2}$)>0对任意x都成立.
点评 本题主要考查抽象函数的应用,利用赋值法是解决本题的关键.
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